## Derivácia komplexnej funkcie

### Cauchy-Riemannove vzťahy

Rozhodnime, či existuje derivácia funkcie f(x+%iy)=x-%i*y.
(Teda f(z) je komplexne združené číslo ku z.)

Definujeme funkciu

f(x,y):=x-%i*y;

Existenciu derivácie overíme pomocou cauchy-Riemannových vzťahov (viď. slajdy).
K tomu najskôr oddelíme reálnu a imaginárnu časť funkcie.

u(x,y):=realpart(f(x,y));

v(x,y):=imagpart(f(x,y));

Následne vypočítame potrebné parciálne derivácie

diff(u(x,y),x,1);

diff(v(x,y),y,1);

Už prvý Cauchy-Riemannov vzťah nikdy neplatí (preto v tomto prípade nemusíme overiť druhý vzťah),
teda daná funkcia nemá deriváciu v žiadnom bode.

Rozhodnime, v ktorých bodoch existuje derivácia funkcie f(z)=|z|^2.

Definujeme funciu

f(x,y):=x^2+y^2;

Reálnu a imaginárnu časť funkcie sme už definovali v predchádzajúcom
príklade, takže môžeme pristúpiť priamo ku C-R vzťahom.

diff(u(x,y),x,1);

diff(v(x,y),y,1);

V tomto prípade musíme brať do úvahy aj druhý C-R vzťah

diff(u(x,y),y,1);

-diff(v(x,y),x,1);

Body, v ktorých existuje derivácia musia vyhovovať systému rovníc
2x=0
2y=0

solve([2*x,2*y],[x,y]);

Jediným bodom komplexnej roviny, v ktorom má daná funkcia deriváciu
je teda bod 0.

Rozhodnime, v ktorých bodoch existuje derivácia funkcie f(z)=e^z.

Definujeme funciu

f(x,y):=exp(x+%i*y);

Reálnu a imaginárnu časť funkcie sme už definovali v prvom
príklade, takže môžeme pristúpiť priamo ku C-R vzťahom.

diff(u(x,y),x,1);

diff(v(x,y),y,1);

Výsledky sú rovnakeé, prvý C-R vzťah je teda splnený vždy.
Ešte overíme druhý C-R vzťah

diff(u(x,y),y,1);

-diff(v(x,y),x,1);

Aj tieto výsledky sú rovnaké, funkcia f(z)=e^z má teda deriváciu
v každom komplexnom z.
Ak by sme ju vyskladali z parciálnych derivácií reálnej a imaginárnej časti,
dostali by sme
f'(z)=e^x*cos(y)+i*e^x*sin(y)=e^x(cos(y)+i*sin(y))=e^(x+i*y)=e^z
čo je výsledok zhodný s výsledkom známym z reálneho oboru.

### Holomorfná funkcia

Rozhodnime, či existuje holomorfná funkcia taká, že pre jej reálnu časť
platí

Re f(z)=y/(x^2+y^2)

Definujeme funkciu u(x,y), ktorá predstavuje reálnu časť funkcie

u(x,y):=y/(x^2+y^2);

Následne spočítame jej parciálnu deriváciu podľa x

ux(x,y):=ratsimp(diff(u(x,y),x,1));

ux(x,y);

Využijeme C-R vzťah pomocou ktorého deefinujeme funkciu vy(x,y).
Tá predstavuje parciálnu deriváciu imaginárnej časti podľa y.

vy(x,y):=ux(x,y);

Integráciou podľa premennej y dopočítame, ako by mala vyzerať
imaginárna časť funkcie.

v(x,y):=integrate(vy(x,y),y);

v(x,y);

Pre kontrolu musíme overiť platnosť druhého C-R vzťahu.
Naskôr spočítame potrebné parciálne derivácie

uy(x,y):=ratsimp(diff(u(x,y),y,1));

uy(x,y);

vx(x,y):=ratsimp(diff(v(x,y),x,1));

vx(x,y);

Aby bol splnený druhý C-R vzťah, musí byť súčet
týchto parciálnych derivácií rovný nule.
Overíme

uy(x,y)+vx(x,y);

Záver: Požadovaní holomorfná funkcia existuje a jej imaginárna
časť má tvar v(x,y)=2*x/(x^2+y^2).