TeX:
\chapter{Rozdelenia pravdepodobnosti}
\section{Spojité rozdelenia}
\subsection{Normálne rozdelenie}
Hovoríme, že náhodná premenná $X$ má normálne rozdelenie s parametrami $\mu$ a $\sigma^2$, a za pisujeme $X\simN(\mu,\sigma^2)$, ak pre jej
funkciu hustoty platí
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mbox{e}^{-\frac{1}{2}\left( \frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
\end{equation}

Pre prácu s preddefinovanými rozdeleniami pravdepodobností je potrebné najskôr načítať knižnicu "distrib", 
čo realizujeme pomocou funkcie `load()`, kde ako argument uvedieme názov požadovanej knižnice. 
V našom prípade teda load(distrib)

load(distrib);

Knižnica distrib obsahuje pre každé implementované rozdelenie množiny funkcií, potrebné pre pravdepodobnostné výpočty.
Volanie týchto funkcií sa skladá z dvoch častí. Prvú tvorí prefix, ktorý určuje druh požadovanej funkcie.
K dispozícii sú tieto prefixy:
pdf_                  funkcia hustoty (spojité rozdelenia) resp. pravdepodobnostná funkcia (diskrétne rozdelenia)
cdf_                  distribučná funkcia
quantile_          kvantilová funkcia
mean_              stredná hodnota
var_                  rozptyl
std_                  smerodajná odchýlka
skeweness_      koeficient šikmosti
kurtosis_           koeficient špicatosti
random_           náhodná hodnota premennej

# Spojité rozdelenia

Druhú časť názvu funkcie, ktorá nasleduje bezprostredne za prefixom, tvorí meno (identifikátor) rozdelenia. 
Vyberať môžeme z týchto spojitých rozdeleni:

normal                          Normálne rozdelenie
student_t                       Studentovo t-rozdelenie
chi2                               Chí kvadrát rozdelenie
f                                    Fisherovo rozdelenie
exp                               exponenciálne rozdelenie
lognormal                     logaritmickonormálne rozdelenie
gamma                         gama rozdelenie
continuous_uniform      spojité rovnomerné rozdelenie
logistic                           logistické rozdelenie
pareto                            Paretovo rozdelenie
weibull                           Weibullovo rozdelenie
rayleigh                         Rayleighovo rozdelenie
laplace                           Laplaceovo rozdelenie
cauchy                           Cauchyho rozdelenie
gumbel                          Gumbelovo rozdelenie

## Rovnomerné rozdelenie

Náhodnými premennými s rovnomerným rozdelením sú napríklad chyby pri zaokrúhľovaní,
doba čakania na výskyt určitej udalosti, ktorá sa opakuje v pravidelných intervaloch.

Príklad
Náhodná premenná X má rovnomerné rozdelenie Ro(-1,5). Vypočítajte:
a) smerodajnú odchýlku,
b) pravdepodobnosť,l že náhodná premenná X sa bude odchyľovať od svojej strednej hodnoty najviac o \pm\sqrt{3D(X)}

Smerodajnú odchýlku vypočítame buď priamo, použitím príslušnej funkcie:

std_continuous_uniform(-1,5);

Môžeme tiež počítať postupne. Najskôr určíme strednú hodnotu. Podľa vzorca pre strednú hodnotu
spojitej náhodnej premennej (pozri slajdy z prednášky č. 4, rovnica (11)). 
Zrejme funkcia hustoty rovnomerného rozdelenia f(x)=1/6 pre -1<x<5 a f(x)=0 inak.
Príslušný integrál teda budeme počítať len na intervale, kde je funkcia hustoty
nenulová.

EX:integrate(1/6*x,x,-1,5);

Rozptyl a následne smerodajnú odchýlku môžeme vypočítať priamo podľa vzorca (17) na uvedených slajdoch,
teda

DX:integrate((x-EX)^2*1/6,x,-1,5);

sigma:sqrt(DX);

Druhou možnosťou je podľa rovnice (9) pre k=2 vypočítať začiatočný moment druhého rádu a rozptyl a následne
smerodajnú odchýlku určiť podľa vzťahu (18)

EX2:integrate(x^2*1/6,x,-1,5);

EX2-(EX)^2;

sqrt(%);

Pre potreby úlohy b) najskôr vypočítame

sqrt(3*DX);

Tak dostávame P(-sqrt(3D(X))<=X-E(X)<=sqrt(3D(X))=
P(-3<=X-2<=3)=P(-1<=X<=5)=

integrate(1/6,x,-1,5);

Príklad
Čas vymedzený na dokončenie určitej činnosti je náhodná premenná s rovnomerným rozdelením
od 30 do 40 minút. Aká je pravdepodonosť, že činnosť začínajúca sa o 12,00 hod. sa ukončí do 12,35?

Náhodná premenná X, ktorá vyjadruje čas dokončenia činnsti má rovnomerné rozdelenie Ro(1/2,2/3)
(30 min. = 1/2 hod., 40 min. = 2/3 hod.) jej hustota pravdepodobnosti teda je f(x)=6 pre 1/2<x<2/3
a 0 inak. Ak si uvedomíme, že 35 min. = 7/12 hod.,  a zoberieme do úvahy, kedy je hustota
pravdepodobnosti nenulová funkcia, tak pre hľadanú pravdepodobnosť P(1/2<=X<=7/12)
dostávame

integrate(6,x,1/2,7/12);

## Exponenciálne rozdelenie

Toto rozdelenie sa používa v teórii spoľahlivosti a životnosti, v teórii obnovy, v teórii hromadnej obsluhy
a v teórii dopravy. Opisuje sa ním doba životnosti niektorých zariadení, výrobkov, dĺžka trvania niektorých
aktivít alebo čakanie na určitú udalosť.
Významná je jeho súvislosť s Poissonovým rozdelením: Ak počet udalostí za určitú časovú jednotku sa riadi
Poissonovým rozdelením, tak doba čakania na výskyt ďalšej udalosti sa riadi exponenciálnym
rozdelením

### Hustota exponenciálneho rozdelenia

Hustota exponenciálneho rozdelenia s parametrom λ je nenulová len pre x>0 a vtedy platí f(x)= λ*e^{ -λ*x}.
Zmeny tvary funkcie hustoty môžeme pozorovať na nasledujúcom obrázku. Po vykonaní príkazu sa
na ploche pracovného listu objaví graf. Po jeho aktivovaní myšou môžeme pomocou slidera v ponuke
meniť jej vzhľad príp. nechať plynule prehrávať a pozorovať zmenu v závislosti od parametra.
Hodnoty parametra  λ sú uložené v zozname d, ktorý generujeme príkazom makelist. V danom prípade
sa jeho hodnoty plynule menia od jednotky po 4 s krokom 0.1.

with_slider_draw(d,makelist(i,i,10,40)/10,yrange=[-1,4],xaxis=true,yaxis=true,explicit(pdf_exp(x,d),x,-1,5))$

### Distribučná funkcia

Podobne ako hustota aj distribučná funkcia bude nenulová len na intervale x>0. Podľa známeho
vzťahu (vzorec (3) na slajdoch č.4) dostávame pre distribučnú funkciu vyjadrenie:

expand(integrate(d*exp(-d*t),t,0,x));

Distribučné funkcie, zodpovedajúce hustotám z predchádzajúceho odseku zobrazíme nasledujúcim príkazom:

with_slider_draw(d,makelist(i,i,10,40)/10,yrange=[-0.5,1.5],xaxis=true,yaxis=true,explicit(cdf_exp(x,d),x,-1,5))$

### Charakteristiky exponenciálneho rozdelenia

Význam hodnoty parametra exponenciálneho rozdelenia je zrejmý ihneď po vyčíslení
jeho charakteristík. Dostávame pre strednú hodnotu

EX:integrate(x*d*exp(-d*x),x,0,inf);

Podobne pre rozptyl postupne dostávame:

DX:integrate((x-EX)^2*d*exp(-d*x),x,0,inf);

Príklad
Náhodná premenná X, ktorá sa riadi exponenciálnym rozdelením má
strednú hodnotu 4. Aká je pravdepodobnosť, náhodná premenná
nadobudne hodnotu z intervalu (1,4)?

V predchádzajúcich výpočtoch sme zistili, že stredná hodnota exponenciálneho
rozdelenia je rovná prevrátenej hodnote jeho parametra, teda 1/λ. Teda 1/λ=4
a teda λ=1/4. Príslušnú pravdepodobnosť určíme ako rozdiel hodnôt distribučnej
funkcie (pozri slajdy č.4, vzťah (2)).

cdf_exp(4,1/4)-cdf_exp(1,1/4);

float(cdf_exp(4,1/4)-cdf_exp(1,1/4));

Príklad
Pravdepodobnosť, že doba čakania na obsluhu v určitej predajni bude kratšia ako 2 min.
je 0,16. Predpokladajme, že táto doba čakania sa riadi exponenciálnym rozdelením. 
Určte strednú dobu čakania na obsluhu.

Podľa definície distribučnej funkcie (slajdy č.4, vzťah (1)) je pravdepodobnosť toho, že doba
čakania na obsluhu bude kratšia kao 2 minúty rovná hodnote distribučnej funkcie F(2).
Dostávame teda rovnicu F(2)=0,16.

parametre:float(solve(1-exp(-2*d)=0.16,d));

Hodnota neznámeho parametra exponenciálneho rozdelenia teda je

d:rhs(parametre[2]);

Hľadanú strednú dobu čakania teda určíme ako strednú hodnotu príslušného
exponenciálneho rozdelenia

mean_exp(d);